Lineaire algebra

Hoofdstuk 1: Complexe getallen

• Invoering van de complexe getallen
  1. Imaginaire getallen
  2. Het begrip complex getal
  3. Poolcoördinaten
  4. Reëel en imaginair deel
• Rekenen met complexe getallen
  1. Rekenen met poolcoördinaten
  2. Het quotiënt
  3. Complexe conjugatie
  4. Meetkundige interpretatie
• Complexe functies
  1. Complexe machten
  2. Rekenregels voor complexe machten
  3. Complexe sinus en cosinus
  4. Complexe logaritme
• Complexe veeltermen
  1. Het begrip complexe veelterm
  2. Factorisatie van complexe veeltermen
  3. Nulpunten van complexe veeltermen
  4. Hoofdstelling van de algebra
  5. Reële veeltermen

Hoofdstuk 2: Vectorrekening in vlak en ruimte

• Vectoren in vlak en ruimte
  1. Het begrip vector
  2. Scalaire vermenigvuldiging
  3. Optelling van vectoren
  4. Lineaire combinaties van vectoren
• Rechten en vlakken
  1. Geparameteriseerde rechten
  2. Geparameteriseerde vlakken
• Bases en coördinaten
  1. Het begrip basis
  2. Coördinaatruimten
  3. Rechten in het coördinaatvlak
  4. Vlakken in de coördinaatruimte
  5. Rechten in de coördinaatruimte
• Afstanden, hoeken en inproduct
  1. Afstand
  2. Inproduct
  3. Eigenschappen van het inproduct
  4. Het standaardinproduct
  5. Normaalvectoren
• Het uitproduct
  1. Uitproduct in 3 dimensies
  2. Het begrip inhoud in de ruimte
  3. De inhoud van een parallellepipedum
  4. Eigenschappen van het uitproduct
  5. Het standaarduitproduct

Hoofdstuk 3: Stelsels lineaire vergelijkingen en matrices

• Lineaire vergelijkingen
  1. Het begrip lineaire vergelijking
  2. Herleiden tot een basisvorm
  3. Een lineaire vergelijking met één onbekende oplossen
  4. Een lineaire vergelijking met meerdere onbekenden oplossen
• Stelsels lineaire vergelijkingen
  1. Het begrip stelsel lineaire vergelijkingen
  2. Homogene en inhomogene stelsels
  3. Lijnen in het vlak
  4. Vlakken in de ruimte
  5. Elementaire bewerkingen op stelsels lineaire vergelijkingen
• Van stelsels naar matrices en rijreductie
  1. Van stelsels naar matrices
  2. Vergelijkingen en matrices
  3. Trapvorm en gereduceerde trapvorm
  4. Rijreductie van een matrix
  5. Lineaire vergelijkingen oplossen met Gauss-eliminatie
  6. Oplosbaarheid van stelsels lineaire vergelijkingen
  7. Stelsels met een parameter
• Matrices
  1. Het begrip matrix
  2. Eenvoudige matrixbewerkingen
  3. Vermenigvuldiging van matrices
  4. Matrixvergelijkingen
  5. De inverse van een matrix

Hoofdstuk 4: Vectorruimten

• Vectorruimten en lineaire deelruimten
  1. Het begrip vectorruimte
  2. Het begrip lineaire deelruimte
  3. Rechten en vlakken
  4. Affiene deelruimten
• Opspansels
  1. Opspansels
  2. Bewerkingen met opspannende vectoren
  3. Onafhankelijkheid
  4. Basis en dimensie
  5. Basis vinden
• Meer over deelruimten
  1. Doorsnede en som van lineaire deelruimten
  2. Directe som van twee lineaire deelruimten
• Coördinaten
  1. Het begrip coördinaten
  2. Coördinaten van som en scalair veelvoud
  3. Basis en trapvorm

Hoofdstuk 5: Inproductruimten

• Inproduct, lengte en hoek
  1. Het begrip inproduct voor een reële vectorruimte
  2. Hoek
  3. Loodrechte stand
• Orthonormale stelsels
  1. Het begrip orthonormaal stelsel
  2. Eigenschappen van orthonormale stelsels
  3. Orthonormale bases maken
• Orthogonale projecties
  1. Loodrechte projectie
  2. Het orthogonale complement
  3. Gram-Schmidt in matrixvorm
• Complexe inproductruimten
  1. Inproduct voor complexe vectorruimten
  2. Orthonormale stelsels in complexe inproductruimten
  3. Orthogonale complementen in complexe inproductruimten
  4. Gram-Schmidt in complexe inproductruimten

Hoofdstuk 6: Lineaire afbeeldingen

• Lineaire afbeeldingen
  1. Het begrip lineaire afbeelding
  2. Lineaire afbeeldingen bepaald door matrices
  3. Samenstelling van lineaire afbeeldingen
  4. Som en veelvoud van lineaire afbeeldingen
  5. De inverse van een lineaire afbeelding
  6. Kern en beeld van een lineaire afbeelding
  7. Vastleggen van lineaire afbeeldingen
  8. Dimensiestelling voor lineaire afbeeldingen
  9. Inverteerbaarheidscriteria voor lineaire afbeeldingen
• Matrices van lineaire afbeeldingen
  1. De matrix van een lineaire afbeelding in de coördinaatruimte
  2. Bepaling van de matrix in de coördinaatruimte
  3. Coördinaten
  4. Basisovergang
  5. Matrix van een lineaire afbeelding
  6. Coördinatentransformaties
  7. Verband met stelsels lineaire vergelijkingen
• Duale vectorruimten
  1. Het begrip duale ruimte
  2. Duale basis
  3. Duale afbeelding

Hoofdstuk 7: Matrixrekening

• Rang en inverse van een matrix
  1. Rang en kolommenruimte van een matrix
  2. Inverteerbaarheid en rang
• Determinanten
  1. 2-dimensionale determinanten
  2. Permutaties
  3. Hoger-dimensionale determinanten
  4. Meer eigenschappen van determinanten
  5. Ontwikkeling naar rij of kolom
  6. Vegen van rij of kolom
  7. De regel van Cramer
• Matrices en coördinatentransformaties
  1. Karakteristieke veelterm van een matrix
  2. Geconjugeerde matrices
  3. Karakteristieke veelterm van een lineaire afbeelding
  4. Matrix-equivalentie
• Minimumveelterm
  1. Cayley-Hamilton
  2. Deling met rest van veeltermen
  3. Het begrip minimumveelterm

Hoofdstuk 8: Invariante deelruimten van lineaire afbeeldingen

• Eigenwaarden en eigenvectoren
  1. Diagonaalvorm
  2. Eigenruimte
  3. Bepaling eigenwaarden en eigenvectoren
• Diagonaliseerbaarheid
  1. Het begrip diagonaliseerbaarheid
  2. Diagonaliseerbaarheid en minimumveelterm
  3. De grootste gemene deler van twee veeltermen
  4. Het algoritme van Euclides
• Invariante deelruimten
  1. Het begrip invariante deelruimte
  2. Het uitgebreide algoritme van Euclides
  3. Directe somdecomposities in invariante deelruimten
  4. Gegeneraliseerde eigenruimte
  5. Jordannormaalvorm
  6. Van reële naar complexe vectorruimten en terug
  7. Reële Jordanvorm voor niet-reële eigenwaarden

Hoofdstuk 9: Orthogonale en symmetrische afbeeldingen

• Orthogonale afbeeldingen
  1. Het begrip orthogonale afbeelding
  2. Enkele eigenschappen van orthogonale afbeeldingen
  3. Orthogonale afbeeldingen en orthonormale bases
  4. Orthogonale matrices
  5. Orthogonale overgangsmatrices
• Classificatie van orthogonale afbeeldingen
  1. Tweedimensionale orthogonale afbeeldingen
  2. Driedimensionale orthogonale afbeeldingen
  3. Jordannormaalvorm voor orthogonale afbeeldingen
  4. Classificatie van orthogonale afbeeldingen
• Isometrieën
  1. Het begrip isometrie
  2. Isometrieën en orthonormale stelsels
  3. Equivalentie van isometrieën
  4. Karakterisatie van isometrieën
• Unitaire afbeeldingen
  1. Het begrip unitaire afbeelding
  2. Diagonaalvorm voor unitaire afbeeldingen
• Symmetrische afbeeldingen
  1. Het begrip symmetrische afbeelding
  2. Verband met symmetrische matrices
  3. Eigenschappen van symmetrische afbeeldingen
  4. Orthonormale bases en symmetrische afbeeldingen
• Toepassingen van symmetrische matrices
  1. Kwadratische vormen
  2. Kwadrieken
  3. Kleinste kwadratenoplossingen van lineaire vergelijkingen
  4. Singuliere waarden ontbinding